1．模型图例
2．两个规律（1）水平方向动量守恒系统在水平方向不受外力，因此水平方向动量守恒；竖直方向因受重力作用，动量不守恒。（2）系统机械能守恒忽略摩擦与空气阻力，小球与滑块组成的系统仅受重力作用，机械能守恒。
3．两个状态（1）当小球运动到最高点时，其竖直方向速度为零，与滑块在水平方向达到共速。此时系统动能最小，势能最大。（2）当小球再次回到最低点时，滑块速度最大，此过程类似于弹性碰撞，小球回到最低点时。
例题1［攻坚］（多选）如图所示，一个固定的光滑导轨长臂水平、短臂竖直；一根不可伸长的轻绳，一端系在质量为的圆环上，另一端与质量为的小球相连，圆环套在长臂上。左手扶住圆环，右手拿起小球将细线水平拉直，已知细线长度，此时圆环距离短臂，现将圆环与小球同时由静止释放，小球向下摆动，环与短臂碰后粘连（碰撞时间极短）。在小球向下摆动过程中，小球与环沿绳方向速度始终相等，重力加速度为。从释放小球到小球第一次到达最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球与环组成的系统机械能不守恒B．小球与环组成的系统在水平方向上动量守恒C．环的最大速度大小为D．小球运动的最大速度大小为【答案】 AD【解析】小球与圆环释放瞬间，小球与圆环水平方向上不受外力，水平方向动量守恒，根据平均动量守恒有
相等时间里小球与环水平位移相等，所以当环与短臂碰撞时，小球的水平位移也为，由于，所以当圆环与短臂碰撞时，小球未到最低点，之后环与短臂粘连，小球做圆周运动到最低点。
环与短臂粘连时，小球与环沿绳方向的速度减为 0 ，机械能不守恒，A正确；环与短臂粘连前系统水平方向动量守恒，粘连后水平方向动量不守恒， B 错误；
如图
环与断臂碰撞前瞬间速度最大，设最大速度为，绳与水平方向夹角为，根据
水平方向动量守恒，有可得小球的水平速度为根据机械能守恒定律，有在小球向下摆动过程中，小球与环沿绳方向速度始终相等，有可得联立解得，C 错误；小球运动到最低点时速度最大，设速度为，环与短臂粘连时，小球与环沿绳方向的速度减为 0 ，小球的速度为根据动能定理，有解得，D正确。故选 AD。
例题 6 ［攻坚］（2025•湖南卷•T15）某地为发展旅游经济，因地制宜利用山体举办了机器人杂技表演。表演中，需要将质量为的机器人抛至悬崖上的点，图为山体截面与表演装置示意图。为同一水平面上两条光滑平行轨道，轨道中有质量为的滑杆。滑杆用长度为的轻绳与机器人相连。初始时刻，轻绳绷紧且与轨道平行，机器人从点以初速度v竖直向下运动，点位于轨道平面上，且在点正下方，。滑杆始终与轨道垂直，机器人可视为质点且始终作同一坚直平面内运动，不计空气阻力，轻绳不可伸长，，重力加速度大小为。
（1）若滑杆固定，，当机器人运动到滑杆正下方时，求轻绳拉力的大小； （2）若滑杆固定，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为时，机器人松开轻绳后被抛至点，求的大小；（3）若滑杆能沿轨道自由滑动，，且，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为时，机器人松开轻绳后被抛至点，求与的关系式及的最小值。【答案】【解析】（1）设机器人运动至最低点时速度为，从到最低点高度下降，由动能定理：
代入，得：
在最低点，绳拉力与重力合力提供向心力：
（2）设绳与水平方向夹角时机器人速度为，由能量守恒：
运动分解：水平位移：坚直位移：代人解得再得，最终：
（3）设机器人运动至绳与水平时，机器人对地速度水平、竖直分量为，滑杆速度为（水平向左为正）。
系统水平动量守恒：
能量守恒：
代入：
机器人相对滑杆做圆周运动，相对速度沿绳垂直方向，因此相对速度的水平分量与坚直分量满足：
（因为滑杆向左，机器人相对滑杆水平向右，坚直向上）
由和上式解得：
代入能量方程并化简可得：
当时取最小值：
